（2014•丰台区一模）从数列{an}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{an}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n-1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若{an}是无穷等比数列，首项a1=1，公

Question

（2014•丰台区一模）从数列{a_n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a_n}的一个子列．
（Ⅰ）写出数列{3n-1}的一个是等比数列的子列；
（Ⅱ）若{a_n}是无穷等比数列，首项a₁=1，公比q＞0且q≠1，则数列{a_n}是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）a_n=2^2n-1（若只写出2，8，32三项也给满分）．
（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为{b_n}，通项公式为b_n=b₁+（n-1）d．
∵a₁=1，∴a_n=q^n-1．
（1）当0＜q＜1时，a_n=q^n-1∈（0，1]，且数列{a_n}是递减数列，
∴{b_n}也为递减数列且b_n∈（0，1]，d＜0，
令b₁+（n-1）d＜0，得n＞1-(b1)/(d)＞1，
即存在n＞1使得b_n＜0，这与b_n∈（0，1]矛盾．
（2）当q＞1时，a_n=q^n-1≥1，数列{a_n}是递增数数列，
∴{b_n}也为递增数列且b_n≥1，d＞0．
∵d为正的常数，且q＞1，
∴存在正整数m使得a_m+1-a_m=q^m-1（q-1）＞d．
令b_k=a_p，（p＞m），则b_k+1≥a_p+1，
∵a_p+1-a_p=q^p-1（q-1）＞q^m-1（q-1）＞d=b_k+1-b_k，
∴a_p+1-a_p＞b_k+1-b_k，即a_p+1＞b_k+1，但这与b_k+1≥a_p+1矛盾，说明假设不成立．
综上，∴数列{a_n}不存在是无穷等差数列的子列．