数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使不等式an≥m成立中的所有n中的最小值（Ⅰ）若正项数列{an}前n和为Sn，是与（an+1）2的等比中项，求an及bn通项；（Ⅱ）若数列{an}通项为an=pn+q（n∈N*，p

Question

数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使不等式a_n≥m成立中的所有n中的最小值
（Ⅰ）若正项数列{a_n}前n和为S_n，是与（a_n+1）²的等比中项，求a_n及b_n通项；
（Ⅱ）若数列{a_n}通项为a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*），如果存在，求出p和q的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由于是与（a_n+1）²的等比中项，∴
当n=1时，，∴a₁=1，（2分）
当n≥2时，，由a_n＞0，化简有a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是等差数列，a_n=2n-1，检验当n=1时也适合，即a_n=2n-1（5分）
对于正整数，由a_n≥m，得．
根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴（9分）
（Ⅱ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0，得：．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得（或），
这与上述结论矛盾！（13分）
当3p-1=0，即时，得，解得．
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；
p和q的取值范围分别是，．（16分）