a、b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，则无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b2）a2，…，（1+b+b2+…+bn-1）an-1…的和为（）A．1(1−a)(1−b)B．11−abC．2(1−a)(1−ab)D．1(1−a)(1−ab)

Question

a、b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，则无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b²）a²，…，（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1…的和为（　　）

A．(1)/((1−a)(1−b))
B．(1)/(1−ab)
C．(2)/((1−a)(1−ab))
D．(1)/((1−a)(1−ab))

Answer 1

∵a_n=（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1
=(1−bn)/(1−b)•a^n-1
=(1)/(1−b)（a^n-1-a^n-1bⁿ），
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b²）a²，…，（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1…的和：
S=

lim

n→∞

(1)/(1−b)[(1−an)/(1−a)-(b(1−anbn))/(1−ab)]
=

lim

n→∞

[(1)/((1−b)(1−a))-(an)/((1−b)(1−a))-(b)/((1−b)(1−ab))+(b)/((1−a)(1−ab))•(ab)n]
=(1)/((1−b)(1−a))-(b)/((1−b)(1−ab))
=(1−ab−b(1−a))/((1−b)(1−a)(1−ab))
=(1)/((1−a)(1−ab))，
故选D．