黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与

Question

黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系．例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比(√(5)−1)/(2)，底角平分线与腰的交点为黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你证明点D是腰AB的黄金分割点；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，若(AB)/(BC)＝(√(5)−1)/(2)，则请你求出∠A的度数；
（3）如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a，b，c．若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠DCA，∠BDC=72°，
∴AD=CD=BC，
在△BCD和△BAC中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴(BC)/(AB)＝(BD)/(BC)，
∴BC²=AB•BD又BC=AD，（1分）
∴AD²=AB•BD，
∴D是AB的黄金分割点；

（2）在底边BC上截取BD=AB，连接AD，
∵(AB)/(BC)＝(√(5)−1)/(2)，AB=AC，
∴(BD)/(BC)＝(√(5)−1)/(2)，
∴(AC)/(BC)＝(√(5)−1)/(2)，
∴(CD)/(BD)＝(CD)/(AC)＝(√(5)−1)/(2)，
∴(CD)/(AC)＝(AC)/(BC)，
又∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴设∠CAB=∠CDA=x，
∴∠BAD=∠BDA=2x，
∴x+2x+x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=108°；

（3）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD为AB上的高，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB，
∴(AD)/(AC)＝(AC)/(AB)，(BD)/(BC)＝(BC)/(AB)
∴AD＝(b2)/(c)，BD＝(a2)/(c)，（1分）
∵点D是AB的黄金分割点，
∴AD²=BD•AB，（1分）
∴((b2)/(c))2＝(a2)/(c)•c，
该直角三角形的三边a，b，c之间应满足b²=ac．