已知函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0），f（x）图象相邻最高点和最低点的横坐标相差π2，初相为π6．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π2]上的值域．

Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0），f（x）图象相邻最高点和最低点的横坐标相差(π)/(2)，初相为(π)/(6)．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，(π)/(2)]上的值域．

Answer 1

（I）依题意函数f（x）的周期为π，
∴ω=(2π)/(ω)=2，又初相为(π)/(6)，
∴φ=(π)/(6)；…（4分）
从而f（x）=sin（2x+(π)/(6)），…（6分）
（II）因为x∈[0，(π)/(2)]，所以(π)/(6)≤2x+(π)/(6)≤(7π)/(6)，…（9分）
∴-(1)/(2)≤sin（2x+(π)/(6)）≤1；
∴函数f（x）=sin（2x+(π)/(6)）的值域为[-(1)/(2)，1]…（12分）