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在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥AB,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E,过E作EF∥BC分别交AC,DC于G,F,过E作EH∥AB分别交AC,AD于K,H.(1)若∠B=60°,CF=2,求EG的长;(2)求证:GF=GK+KH.
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在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥AB,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点E,过E作EF∥BC分别交AC,DC于G,F,过E作EH∥AB分别交AC,AD于K,H.
(1)若∠B=60°,CF=2,求EG的长;
(2)求证:GF=GK+KH.
(1)若∠B=60°,CF=2,求EG的长;
(2)求证:GF=GK+KH.
▼优质解答
答案和解析
(1) ∵EF∥BC,CE为∠ACB的角平分线,
∴∠AGE=∠CGF=2∠BCE,
∵∠AGE=∠ACE+∠CEG,
∴∠ACE=∠CEG,
∴GC=GE,
在直角三角形GCF中,GC=tan60°×FC=2
,
∴GE=2
;
(2)证明:过C作CM⊥EF交EF于M,
由(1)知GC=GE,
∵∠CGF=∠AGE,
在△CMG与△EKG中,
,
∴△CMG≌△EKG(AAS),
∴MG=GK,CM=EK,
∵EH∥AB,
∴∠BAE=∠AEH,
∵∠BAE=∠EAK,
∴∠EAK=∠AEK,
∴AK=EK,
∵EF∥AD,EH∥AB∥DC,
∴∠CFM=∠D=∠KHA,
又∵∠FCA=∠HKA=90°,CM=EK,
在△CMF与△AKH中,
,
∴△CMF≌△AKH(AAS),
∴FM=KH,
∵GF=FM+MG,
∴GF=GK+KH.
∴∠AGE=∠CGF=2∠BCE,
∵∠AGE=∠ACE+∠CEG,
∴∠ACE=∠CEG,
∴GC=GE,
在直角三角形GCF中,GC=tan60°×FC=2
3 |
∴GE=2
3 |
(2)证明:过C作CM⊥EF交EF于M,
由(1)知GC=GE,
∵∠CGF=∠AGE,
在△CMG与△EKG中,
|
∴△CMG≌△EKG(AAS),
∴MG=GK,CM=EK,
∵EH∥AB,
∴∠BAE=∠AEH,
∵∠BAE=∠EAK,
∴∠EAK=∠AEK,
∴AK=EK,
∵EF∥AD,EH∥AB∥DC,
∴∠CFM=∠D=∠KHA,
又∵∠FCA=∠HKA=90°,CM=EK,
在△CMF与△AKH中,
|
∴△CMF≌△AKH(AAS),
∴FM=KH,
∵GF=FM+MG,
∴GF=GK+KH.
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