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已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE.
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已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,分别延长CE,BA交于一点F.
∵BE⊥EC,
∴∠FEB=∠CEB=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE,
又∵BE=BE,
∴△BFE≌△BCE (ASA).
∴FE=CE.
∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,
∴∠ABD+∠EDC=90°.
又∵∠DEC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,
∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.
∴FC=DB,
∴BD=2EC.
∵BE⊥EC,
∴∠FEB=∠CEB=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE,
又∵BE=BE,
∴△BFE≌△BCE (ASA).
∴FE=CE.
∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,
∴∠ABD+∠EDC=90°.
又∵∠DEC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,
∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.
∴FC=DB,
∴BD=2EC.
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