已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=3ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=21，且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Question

已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=√(3)ccosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=√(21)，且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

（I）根据正弦定理(a)/(sinA)=(c)/(sinC)，可得csinA=asinC，
∵csinA=√(3)acosC，∴asinC=√(3)acosC，
可得sinC=√(3)cosC，得tanC=(sinC)/(cosC)=√(3)，
∵C∈（0，π），∴C=(π)/(3)；
（II）∵sinC+sin(B-A)=5sin2A，C=(π)/(3)
∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a…（1）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴21=a2+b2-2ab×(1)/(2)…（2）
由（1）（2）解得a=1，b=5，
∴S△ABC=(1)/(2)absinC=(1)/(2)×1×5×(√(3))/(2)=(5√(3))/(4)．