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已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.己知csinA=3ccosC.(Ⅰ)求角C;(Ⅱ)若c=21,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面积.
题目详情
已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.己知csinA=
ccosC.
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若c=
,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面积.
3 |
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若c=
21 |
▼优质解答
答案和解析
(I)根据正弦定理
=
,可得csinA=asinC,
∵csinA=
acosC,∴asinC=
acosC,
可得sinC=
cosC,得tanC=
=
,
∵C∈(0,π),∴C=
;
(II)∵sinC+sin(B-A)=5sin2A,C=
∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA,
∵A、B、C为斜三角形,∴cosA≠0,∴sinB=5sinA,
由正弦定理可知b=5a…(1)
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
∴21=a2+b2-2ab×
…(2)
由(1)(2)解得a=1,b=5,
∴S△ABC=
absinC=
×1×5×
=
.
a |
sinA |
c |
sinC |
∵csinA=
3 |
3 |
可得sinC=
3 |
sinC |
cosC |
3 |
∵C∈(0,π),∴C=
π |
3 |
(II)∵sinC+sin(B-A)=5sin2A,C=
π |
3 |
∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA,
∵A、B、C为斜三角形,∴cosA≠0,∴sinB=5sinA,
由正弦定理可知b=5a…(1)
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
∴21=a2+b2-2ab×
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由(1)(2)解得a=1,b=5,
∴S△ABC=
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