在斜三角形ABC中,角ABC所对的边分别是abc,已知csinA=√3acosC,(1)求C.（2）若C=√7,且sinC+sin（B-A）=3sin2A,求三角形ABC的面积.

Question

在斜三角形ABC中,角ABC所对的边分别是abc,已知csinA=√3acosC,(1)求C.（2）若C=√7,且sinC+sin（B-A）=3sin2A,求三角形ABC的面积.

Answer 1

1.
csinA=√3acosC
a/sinA=c/(√3cosC)
由正弦定理得a/sinA=c/sinC
sinC=√3cosC
tanC=√3
C为三角形内角,C=π/3
2.
sinC+sin(B-A)=2sin(2A)
sin(B+A)+sin(B-A)=2(2sinAcosA)
sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=4sinAcosA
sinBcosA-2sinAcosA=0
cosA(sinB-2sinA)=0
三角形是斜三角形,cosA≠0,因此只有sinB=2sinA
由正弦定理得b=2a
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
C=π/3 b=2a c=√7代入,整理,得
3a²=7
a²=7/3
S=(1/2)absinC
=(1/2)a·(2a)sin(π/3)
=a²·sin(π/3)
=(7/3)·(√3/2)
=7√3/6