图形计数一个凸n边形,被划分为黑,白两色的若干个三角形,使得任意2个三角形要么由公共边（这时他们的染色不同）,要么有公共顶点,要么无公共顶点,而凸n边形都是某些黑色三角形的边,证明

Question

图形计数
一个凸n边形,被划分为黑,白两色的若干个三角形,使得任意2个三角形要么由公共边（这时他们的染色不同）,要么有公共顶点,要么无公共顶点,而凸n边形都是某些黑色三角形的边,证明,n是3的倍数

Answer 1

用数学归纳法
设n=3*2 即n=6时 将不相邻的顶点顺次连接,分成4个三角形,中间为白,其余为黑,条件成立
设n=3*2-1 即n=5时 不论怎样连接,都有两个以5边形边为一边或两边三角形有一公共边,不可能满足条件
设n=3*2-2 即n=4时,只能分成两三角形,显然无法满足条件
不妨设n=3k时,满足条件,将此多边形称为q
设当n=3(k+1)时,多边形为称做w,
w比q多三边,即多一顶点,将此顶点左,右相邻的两个顶点连接,可将w分为q与一个三角形,三角形为黑色,q满足条件,故w满足条件
当k=1时成立
所以当n=3k时,满足条件
当n=3(k+1)-1时,同样可以将其分为3k-1边形和一个三角形,假设3(k+1)-1边形满足条件,则3k-1边形定满足条件,同理3k-1可分成3(k-1)-1边形与一个三角形,3k-1边形定满足条件,则3(k-1)-1满足条件,所以对任意实数k条件成立,然而k=2时不满足条件,所以矛盾,所以n=3k-1不满足条件
同理证明n=3k-2时不满足条件
宗上所述,当且仅当n=3k时满足条件