高二立体几何9正多面体每个顶点有m条棱,每个面均为正n边形,请推导顶点数E,棱数E,面数F关于m,n的计算公式.顶点数v

Question

高二立体几何9
正多面体每个顶点有m条棱,每个面均为正n边形,请推导顶点数E,棱数E,面数F关于m,n的计算公式.
顶点数v

Answer 1

证明：
由于每个面均有n条边,所以一共有nF条边
由于每条边都是两个面的公共边,所以每条边
都被计算两次 ,所以该多面体一共有（nF）/2
条边,所以
E=（nF）/2 ①
同样
由于多面体有V个顶点,每个顶点连有m条棱
所以一共有mV条棱
由于每条棱连着两个顶点,所以每条边
都被计算两次 ,所以该多面体一共有（mV）/2
条棱,所以
E=（mV）/2 ②
由 ① ,②得
F=（2E）/n ,V=(2E)/m
代入 欧拉公式V+F-E=2 得
(2E)/m+（2E）/n -E=2
两边同除以 2E
（1/m） +（1/n）=（1/E）+1/2