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(2014•西城区模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD,∠ADC的平分线AE,DF分别与线段BC相交于点E,F,AE与DF相交于点G.(1)求证:AE⊥DF;(2)若AD=10,AB=8,AG=4,求EC及EG的长.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/faedab64034f78f0c57a6e427a310a55b3191c09.jpg)
(1)求证:AE⊥DF;
(2)若AD=10,AB=8,AG=4,求EC及EG的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=
∠BAD,∠ADF=∠CDF=
∠ADC.
∴∠DAE+∠ADF=
∠BAD+
∠ADC=90°.
∴∠AGD=90°.
∴AE⊥DF.
(2)在平行四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD=10,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.
由(1)得∠BAE=∠AEB,∠CDF=∠DFC.
∵AB=DC=8,
∴BE=AB=8,FC=CD=8.
∴EC=BC-BE=2.
∴EF=FC-EC=6.
∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FEG,∠ADG=∠EFG.
∴△AGD∽△EGF.
∴
=
.
∴
=
.
∴EG=
.
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的平分线,
∴∠DAE=∠BAE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠DAE+∠ADF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠AGD=90°.
∴AE⊥DF.
(2)在平行四边形ABCD中,AD∥BC,BC=AD=10,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.
由(1)得∠BAE=∠AEB,∠CDF=∠DFC.
∵AB=DC=8,
∴BE=AB=8,FC=CD=8.
∴EC=BC-BE=2.
∴EF=FC-EC=6.
∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠FEG,∠ADG=∠EFG.
∴△AGD∽△EGF.
∴
AD |
EF |
AG |
EG |
∴
10 |
6 |
4 |
EG |
∴EG=
12 |
5 |
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