函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为π．则函数y=f（x）图象上离坐标原点O最近的对称中心是．

Question

函数 的图象关于直线 对称，它的最小正周期为π．则函数y=f（x）图象上离坐标原点O最近的对称中心是     ．

Answer 1

【答案】 分析： 先根据函数的最小正周期求出ω的值，因为函数的对称轴为 ，所以在对称轴左右两侧取关于对称轴对称的两个x的值，则其函数值相等，就可求出∅的值，得到函数的解析式．再根据基本正弦函数的对称中心求出此函数的对称中心即可．
函数f（x）=Asin（ωx+∅）的周期T= =π，∴ω=2
∵函数f（x）=Asin（2x+∅）的图象关于直线 对称，∴f（0）=f（ ）
即Asin∅=Asin（ +∅），化简得，sin∅=- cos∅- sinφ
sin∅=- cos∅，tan∅=- ，
又∵|∅|＜ ，∴∅=- ，∴f（x）=Asin（2x- ）
令2x- =kπ，k∈Z，解得，x= ，k∈Z，
∴函数y=f（x）图象的对称中心是（ ，0），k∈Z
其中，离坐标原点O最近的对称中心是（ ，0）
故答案为（ ，0）
点评： 本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象与性质，解题时借助基本的正弦函数的图象和性质．