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(2012•盐城三模)在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC的三等分点(如图1).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连接B'C(如图2).(1)若平面AB′D⊥平面ADC
题目详情
(2012•盐城三模)在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为线段BC的中点,E、F为线段AC的三等分点(如图1).将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置,连接B'C(如图2).
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;
(2)记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;
(3)求证:AD⊥B′E.
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱锥B′-ADC的体积;
(2)记线段B′C的中点为H,平面B′ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;
(3)求证:AD⊥B′E.
▼优质解答
答案和解析
(1)在直角△ABC中,D为BC的中点,所以AD=BD=CD.
又∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.取AD中点O,连接B'O,∴B'O⊥AD.
∵面AB'D⊥面ADC,面AB'D∩面ADC=AD,B'O⊂面AB'D,
∴B'O⊥面ADC.
在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为BC的中点,
∴AC=
,B'O=
,∴S△ADC=
×
×1×
=
.
∴三棱锥B'-ADC的体积为V=
×S△ADC×B′O=
.
(2)∵H为B'C的中点,F为CE的中点,∴HF∥B'E,
又HF⊈面B'ED,B'E⊂面B'ED,∴HF∥面B'ED,
∵HF⊂面HFD,面B'ED∩面HFD=l,∴HF∥l.
(3)由(1)知,B'O⊥AD.∵AE=
,AO=
,∠DAC=30°,
∴EO=
=
又∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.取AD中点O,连接B'O,∴B'O⊥AD.
∵面AB'D⊥面ADC,面AB'D∩面ADC=AD,B'O⊂面AB'D,
∴B'O⊥面ADC.
在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D为BC的中点,
∴AC=
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∴三棱锥B'-ADC的体积为V=
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(2)∵H为B'C的中点,F为CE的中点,∴HF∥B'E,
又HF⊈面B'ED,B'E⊂面B'ED,∴HF∥面B'ED,
∵HF⊂面HFD,面B'ED∩面HFD=l,∴HF∥l.
(3)由(1)知,B'O⊥AD.∵AE=
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∴EO=
AE2+AO2−2AE•AOcos30° |
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