1.△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE=DB.2.点I是△ABC的内心,AI交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E．求证：IE是AE和DE的比例中项．

Question

1.△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE=DB.
2.点I是△ABC的内心,AI交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E．求证：IE是AE和DE的比例中项．

Answer 1

1)连AE交弧BC与D,连BE,所以角BED=0.5倍角A+0.5倍角B=90度-0.5倍角C(用三角形外角=不相邻的两内角和)
角BDE=角C(同弧所对的圆周角相等)
所以角EBD=180度-角BDE-角BED=90度-0.5倍的角C=角BED
所以DB=DE
2)同上题得BE=IE,所以只要证BE是AE和DE的比例中项
因为三角形BDE相似于三角形ABE（一个公共角相等,角BAE=角EBC[同圆等弧所对的圆周角相等）
所以DE：BE=BE：AE
所以IE是AE和DE的比例中项．
证毕