设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．

Question

设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．

Answer 1

证明：设抛物线为y²=2px（p＞0）．则焦点F（(p)/(2)，0），
依题意，B，C的坐标可由

x＝(p)/(2)

y2＝2px(p＞0)

得：y²=p²，y=p或-p，
∴B（(p)/(2)，p），C（(p)/(2)，-p），|BC|=p-（-p）=2p；
设P（2pt²，2pt），则Q（2pt²，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt²
|BC|×|OQ|=2p×2pt²=4p²t²=（2pt）²=|PQ|²，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项．