设抛物线C:x^2=2py,过焦点F的直线L交抛物线于点A,B,交准线于点E,过焦点F与L垂直的直线交抛物线于点C,D设M为AB中点,N为CD中点,求证：直线MN过定点.（p>0)

Question

设抛物线C:x^2=2py,过焦点F的直线L交抛物线于点A,B,交准线于点E,过焦点F与L垂直的直线交抛物线于点C,D
设M为AB中点,N为CD中点,求证：直线MN过定点.
（p>0)

Answer 1

设M点的坐标为（x0,y0）,Q点坐标为(0,a)
则P点坐标为（2x0,2y0-a）
所以PA,QA的斜率分别为
k(PA)=（2y0-a-2）/(2x0-1)
k(QA)=(2-a)/(1-0)
所以2y0-a=1/2*2x0(1)
k(PA)*k(QA)=-1(2)
由（1）得出a的x0,y0表达式,代入（2）即得到
M点的轨迹方程.（x0,y0）为变量