随机变量X和Y在圆域x2+y2≤r2上服从联合均匀分布．（1）求X和Y的相关系数ρ；（2）问X和Y是否独立．

Question

随机变量X和Y在圆域x²+y²≤r²上服从联合均匀分布．
（1）求X和Y的相关系数ρ；
（2）问X和Y是否独立．

Answer 1

联合概率密度f（x，y）=

(1)/(πr2)，x2+y2≤r2

0，其它

fX(x)＝(2)/(πr2)√(r2−x2)，|x|≤r．
fY(y)＝(2)/(πr2)√(r2−y2)，|y|≤r．
期望EX=0，EY=0．
协方差cov（X，Y）=E（X，Y）=0
∴相关系数ρ_x，y=0．
∵f（x，y）≠f_X（x）•f_Y（y），
∴X与Y不独立．