设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2−x−y，0＜x＜1，0＜y＜10，otherwise（Ⅰ）求Z=2X+Y的概率密度函数fz（z）；（Ⅱ）计算E（X），D（X）；（Ⅲ）计算X与Y的相关系数．

Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

2−x−y，0＜x＜1，0＜y＜1

0，otherwise

（Ⅰ）求Z=2X+Y的概率密度函数f_z（z）；
（Ⅱ）计算E（X），D（X）；
（Ⅲ）计算X与Y的相关系数．

Answer 1

【详解】
（ I）由于 fz(z)＝

∫

+∝ −∝

f(x，z−2x)dx，其中
f(x，z−2x)＝

2−x−(z−2x)，0＜x＜1，0＜z−2x＜1

0，其他

=

2+x−z，0＜x＜1，2x＜z＜1+2x

0，其他

故
（1）当z≤0或z≥3时，f_z（z）=0
（2）当0＜z＜1时，有fz(z)＝

∫

(z)/(2) 0

(2+x−z)dx＝z−(3)/(8)z2
（3）当1≤z＜2时，有fz(z)＝−(1)/(4)z+(7)/(8)
（4）当2≤z＜3时，有fz(z)＝

∫	1 (z−1)/(2)

(2+x−z)dx＝(3)/(8)z2−(9)/(4)z+(27)/(8)
（ II）E(X)＝

∬

+∝ −∝

xf(x，y)dxdy＝∫

1

0

∫

1 0

x(2−x−y)dxdy＝(5)/(12)
又E(X2)＝∫

1

0

∫

1

0

x2(2−x−y)dxdy＝(1)/(4)
故D(X)＝E(X2)−E2(X)＝(11)/(144)
（ III）由x，y在f（x，y）中的对称性易知E(Y)＝(5)/(12)，D(Y)＝(11)/(144)
而E(XY)＝∫

1

0

∫

1

0

xy(2−x−y)dxdy＝(1)/(6)
于是cov(X，Y)＝E(XY)−E(X)E(Y)＝−(1)/(144)，
故X与Y的相关系数ρXY＝(COV(X，Y))/(√(D(X))√(D(Y)))＝−(1)/(11)．