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如图,直线y=x+b(b>0)分别与y轴x,轴交与点A,C,与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点M,过点M作MB⊥y轴于点B,△ABM是△AOC关于点A的位似图形,且△ABM与△AOC的位似比是1:3,△ABM的面
题目详情
如图,直线y=x+b(b>0)分别与y轴x,轴交与点A,C,与反比例函数y=
(x>0)的图象交于点M,过点M作MB⊥y轴于点B,△ABM是△AOC关于点A的位似图形,且△ABM与△AOC的位似比是1:3,△ABM的面积为0.5.
(1)求k的值;
(2)点N(a,1)是反比例函数y=
(x>0)的图象上的点,在x轴上是否存在点P,使得PM+PN的值最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
k |
x |
(1)求k的值;
(2)点N(a,1)是反比例函数y=
k |
x |
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,连接OM.
∵△ABM与△AOC的位似比是1:3,
∴
=
,
∵△ABM与△AOM等高,且S△ABM=0.5,
∴S△AOM=1.5,
∴S△BOM=2,
∴k=4.
(2)存在.如图2,
∵点N(a,1)在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
∴a=4,即点N的坐标为(4,1),
∵直线y=x+b分别与y轴、x轴交于点A,C,
∴点A(0,b),点C(-b,0),
∴OA=OC,
∵△ABM与△AOC位似,AO=b,
∴AM=BM=
b,
∴OB=
b,
∴点M的坐标为(
b,
b).
又∵点M在反比例函数的图象上,
∴
b•
b=4,
解得b1=3,b2=-3(舍去),
∴点M的坐标为(1,4).
设点N关于x轴的对称点为点N1,连接MN1,交x轴于点P,此时PM+PN的值最小,
∵点N与点N1关于x轴对称,
∴点N1的坐标为(4,-1),
设直线MN1的解析式为y=mx+n,则
,
解得
,
∴直线MN1的解析式为y=-
x+
∵△ABM与△AOC的位似比是1:3,
∴
BA |
AO |
1 |
3 |
∵△ABM与△AOM等高,且S△ABM=0.5,
∴S△AOM=1.5,
∴S△BOM=2,
∴k=4.
(2)存在.如图2,
∵点N(a,1)在反比例函数y=
4 |
x |
∴a=4,即点N的坐标为(4,1),
∵直线y=x+b分别与y轴、x轴交于点A,C,
∴点A(0,b),点C(-b,0),
∴OA=OC,
∵△ABM与△AOC位似,AO=b,
∴AM=BM=
1 |
3 |
∴OB=
4 |
3 |
∴点M的坐标为(
1 |
3 |
4 |
3 |
又∵点M在反比例函数的图象上,
∴
1 |
3 |
4 |
3 |
解得b1=3,b2=-3(舍去),
∴点M的坐标为(1,4).
设点N关于x轴的对称点为点N1,连接MN1,交x轴于点P,此时PM+PN的值最小,
∵点N与点N1关于x轴对称,
∴点N1的坐标为(4,-1),
设直线MN1的解析式为y=mx+n,则
|
解得
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∴直线MN1的解析式为y=-
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