已知A是三角形BCD所在平面外一点,AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是边BC的中点,求异面直线AE和BD所成的角的大小

Question

已知A是三角形BCD所在平面外一点,AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是边BC的中点,求异面直线AE和BD所成的角的大小

Answer 1

过E作EF//BD交CD于F,连接AF
设 AB=AC=AD=BC=CD=DB=a
则 EF=a/2
AE=AF=√3 a/2 （均为等边三角形的高）
在△AEF中,根据余弦定理cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2·b·c) 得
cos∠AEF = (AE^2 + EF^2 - AF^2) / (2·AE·EF)
= [(√3 a/2)^2 + (a/2)^2 - (√3 a/2)^2 ] / (2 * (√3 a/2) * (a/2)
=√3 /6
查表可知,∠AEF,也就是异面直线AE和BD所成的角约为 73.5°