，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由．

Question

，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点M作MN∥C₁D，交D₁D于N，连接A₁N，=
∴tan∠A₁MN==
由此可得，当时，异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值为；
（2）∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BM，
因此可得：只要B₁M⊥BM，就有BM⊥平面A₁B₁M．
假设存在M点，使得BM⊥平面A₁B₁M，设C₁M=x
则矩形BB₁C₁C中，B₁M⊥BM，所以∠MB₁C₁=∠MBB₁
∴Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，所以=
∴B₁M²=B₁B•C₁M，可得4+x²=5x，解之得x=1或4
∴当C₁M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A₁B₁M．