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下面有四个命题:①“直线a,b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a,b不相交”;②“直线l⊥面α内所有直线”的充要条件是“l⊥α”;③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a⊥b在α内
题目详情
下面有四个命题:
①“直线a,b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a,b不相交”;
②“直线l⊥面α内所有直线”的充要条件是“l⊥α”;
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a⊥b在α内的射影”;
④“直线a ∥ 面β”的必要非充分条件是“直线a平行于平面β内的一条直线”;
其中正确命题的序号是( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
①“直线a,b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a,b不相交”;
②“直线l⊥面α内所有直线”的充要条件是“l⊥α”;
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a⊥b在α内的射影”;
④“直线a ∥ 面β”的必要非充分条件是“直线a平行于平面β内的一条直线”;
其中正确命题的序号是( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
▼优质解答
答案和解析
①由题意可得:“直线a、b为异面直线”?“直线a、b不相交”为真命题,但是“直线a、b不相交”?“直线a、b为异面直线”为假命题,
所以“直线a、b不相交”是“直线a,b为异面直线”必要不充分条件,即“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是:“直线a、b不相交”,所以①错误;
②由线面垂直的定义可得②正确,所以②正确;
③由空间中的直线与直线之间的位置关系可得:“直线a⊥b”?“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题,并且“a垂直于b在平面α内的射影”?“直线a⊥b”也为假命题,
所以“直线a⊥b”的不充分也不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”,所以③错误;
④由空间中线面偶像的定义可得:“直线α ∥ 平面β”?“直线a平行于平面β内的一条直线”为真命题,但是“直线a平行于平面β内的一条直线”?“直线α ∥ 平面β”为假命题,
所以“直线α ∥ 平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”,所以④正确.
故选C.
所以“直线a、b不相交”是“直线a,b为异面直线”必要不充分条件,即“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是:“直线a、b不相交”,所以①错误;
②由线面垂直的定义可得②正确,所以②正确;
③由空间中的直线与直线之间的位置关系可得:“直线a⊥b”?“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题,并且“a垂直于b在平面α内的射影”?“直线a⊥b”也为假命题,
所以“直线a⊥b”的不充分也不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”,所以③错误;
④由空间中线面偶像的定义可得:“直线α ∥ 平面β”?“直线a平行于平面β内的一条直线”为真命题,但是“直线a平行于平面β内的一条直线”?“直线α ∥ 平面β”为假命题,
所以“直线α ∥ 平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”,所以④正确.
故选C.
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