把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,当二面角D-AC-B为直二面角时,异面直线AD和直线BC之间的距离为

Question

把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,当二面角D-AC-B为直二面角时,异面直线AD和直线BC之间的距离为

Answer 1

边长为2则对角线AC=√2
由於二面角B-AC-D为直二面角,因此其大小θ3=90°
在半平面BAC上,直线BC与棱AC所成角θ1=45°
在半平面DAC上,直线AD与棱AC所成角θ2=45°
设AC中点为O,连接BO,那麼BO⊥AC,因此BO⊥面DAC,OC是BC在面上的射影
所以∠BCO=45°是BC与面DAC所成角
AD与OC所成角为∠DAC=45°,三馀弦定理得AD与BC所成角cosθ=cos45°*cos45°=1/2,所以sinθ=√3/2
设异面直线的距离为d,那麼d=sinθ1*sinθ2*sinθ3/sinθ*AC=√6/3