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(2013•河南模拟)过原点的直线交双曲线x2-y2=42与P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角,则折后线段PQ的长度的最小值等于()A.22B.32C.42D.4
题目详情
(2013•河南模拟)过原点的直线交双曲线x2-y2=4
与P、Q两点,现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角,则折后线段PQ的长度的最小值等于( )
A.2
B.3
C.4
D.4
2 |
A.2
2 |
B.3
2 |
C.4
2 |
D.4
▼优质解答
答案和解析
∵双曲线x2-y2=4
是等轴双曲线,以直线y=±x为渐近线![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d71c41295b01bb051f919ecff.jpg)
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角,可得双曲线y=
的图象
∵双曲线x2-y2=4
的顶点(
,0),逆时针方向旋转45°
变为点(
,
)
∴点(
,
)在y=
的图象上,可得m=
•
=2
,
即双曲线按逆时针方向旋转45°角,得到双曲线y=
的图象
问题转化为:过原点的直线交双曲线y=
于P、Q两点
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角,求折后线段PQ的长度的最小值![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da977391269a89bd6fb198618377ae2ff.jpg)
设P(t,
)(t>0),过点P作PM⊥y轴于M,连结MQ,
可得M(0,
),Q(-t,-
),
|MQ|=
=
在折叠后的图形中,Rt△PMQ中,|PM|=t,
得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=2t2+
≥2
=16,
当且仅当t2=4,即t=2时等号成立
∴当t=2时,即P坐标为(2,
)时,|PQ|的最小值为
=4
综上所述,折后线段PQ的长度的最小值等于4
故选:D
2 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738d71c41295b01bb051f919ecff.jpg)
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角,可得双曲线y=
m |
x |
∵双曲线x2-y2=4
2 |
4 | 32 |
变为点(
4 | 8 |
4 | 8 |
∴点(
4 | 8 |
4 | 8 |
m |
x |
4 | 8 |
4 | 8 |
2 |
即双曲线按逆时针方向旋转45°角,得到双曲线y=
2
| ||
x |
问题转化为:过原点的直线交双曲线y=
2
| ||
x |
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角,求折后线段PQ的长度的最小值
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da977391269a89bd6fb198618377ae2ff.jpg)
设P(t,
2
| ||
t |
可得M(0,
2
| ||
t |
2
| ||
t |
|MQ|=
(0+t)2+(
|
t2+
|
在折叠后的图形中,Rt△PMQ中,|PM|=t,
得|PQ|2=|PM|2+|MQ|2=2t2+
32 |
t2 |
2t2•
|
当且仅当t2=4,即t=2时等号成立
∴当t=2时,即P坐标为(2,
2 |
16 |
综上所述,折后线段PQ的长度的最小值等于4
故选:D
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