（2013•河南模拟）过原点的直线交双曲线x2-y2=42与P、Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于（）A．22B．32C．42D．4

Question

（2013•河南模拟）过原点的直线交双曲线x²-y²=4√(2)与P、Q两点，现将坐标平面沿直线y=-x折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于（　　）

A．2√(2)
B．3√(2)
C．4√(2)
D．4

Answer 1

∵双曲线x²-y²=4√(2)是等轴双曲线，以直线y=±x为渐近线
∴将双曲线按逆时针方向旋转45°角，可得双曲线y=(m)/(x)的图象
∵双曲线x²-y²=4√(2)的顶点（

4

32

，0），逆时针方向旋转45°
变为点（

4

8

，

4

8

）
∴点（

4

8

，

4

8

）在y=(m)/(x)的图象上，可得m=

4

8

•

4

8

=2√(2)，
即双曲线按逆时针方向旋转45°角，得到双曲线y=(2√(2))/(x)的图象
问题转化为：过原点的直线交双曲线y=(2√(2))/(x)于P、Q两点
将坐标平面沿直线y轴折成直二面角，求折后线段PQ的长度的最小值
设P（t，(2√(2))/(t)）（t＞0），过点P作PM⊥y轴于M，连结MQ，
可得M（0，(2√(2))/(t)），Q（-t，-(2√(2))/(t)），
|MQ|=√((0+t)2+((2√(2))/(t)+(2√(2))/(t))2)=√(t2+(32)/(t2))
在折叠后的图形中，Rt△PMQ中，|PM|=t，
得|PQ|²=|PM|²+|MQ|²=2t²+(32)/(t2)≥2√(2t2•(32)/(t2))=16，
当且仅当t²=4，即t=2时等号成立
∴当t=2时，即P坐标为（2，√(2)）时，|PQ|的最小值为√(16)=4
综上所述，折后线段PQ的长度的最小值等于4
故选：D