如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4，沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直

Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF= FD=4， 沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，
(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；
(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

Answer 1

(Ⅰ)取线段EF的中点H，连结A′H， 因为A′E=A′F及H是EF的中点， 所以A′H⊥EF， 又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H 平面A′EF， 所以A′H⊥平面BEF， 如图建立空间直角坐标系A-xyz， 则 ， 故 ， 设 n =(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量， 所以 ， 取 ，则 ， 又平面BEF的一个法向量 m =(0，0，1)， 故 ， 所以二面角的余弦值为 ； (Ⅱ)设FM=x，则M(4+x，0，0)， 因为翻折后，C与A′重合，所以CM=A′M， 故（6-x） 2 +8 2 +0 2 =（-2-x） 2 +2 2 +（2 ） 2 ，得 ， 经检验，此时点N在线段BC上． 所以 。