（理科）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，CC1>AC，∠ACB=90°，异面直线AC1与BA1所成角的大小为arccos3010．（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）设D为线段A1B1的中点，求二面角A-C1D-A1的大小

Question

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，CC₁>AC，∠ACB=90°，异面直线AC₁与BA₁所成角的大小为arccos(√(30))/(10)．

（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）设D为线段A₁B₁的中点，求二面角A-C₁D-A₁的大小．（结果用反三角函数表示）

Answer 1

（1）如图，以CA所在直线为ix轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立平面直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，O，c），B₁（0，2，c），C₁（0，0，c）
∴

AC1

=（-2，0，c），

BA1

=（2，-2，c）
∴cos<

AC1

，

BA1

>=(AC1• BA1)/(|AC1||BA1|)=(−4+c2)/(4+c28+c2)=(30)/(10)
∴c=4，∴CC1=4
S_{三棱柱ABC-A1B1C1}=(1)/(2)AC•BC•CC₁=(1)/(2)×2×2×4=8
（2）∵D为线段A₁B₁的中点，∴D（1，1，4）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA1⊥平面A₁B₁C₁，
∴

AA1

为平面A₁B₁C₁的法向量．

AA1

=（0，0，4）
设平面AC₁D的法向量为

n

=（x，y，z）
∵

AC1

=（-2，0，4），

AD

=（-1，1，4）
∴-2x+4z=0，-x+y+4z=0
令z=1，则x=2，y=-2，∴

n

=（2，-2，1）
cos<

AA1

，

n

>=(4)/(44+4+1)=(1)/(3)
∴平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角为arccos(1)/(3)，
有图知，平平面A₁B₁C₁的法向量与平面AC₁D的法向量所成角即为二面角A-C₁D-A₁，
∴二面角A-C₁D-A₁的大小为arccos(1)/(3)．