如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，E为BC的中点．（1）求证：BD⊥平面AB1E；（2）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值；（3）求三棱锥C-ABD的体积．

Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，E为BC的中点．
（1）求证：BD⊥平面AB₁E；
（2）求直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值；
（3）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

（1）∵正方形BB₁C₁C中，D为CC₁中点，E为BC的中点
∴Rt△BB₁E≌Rt△CBD，可得∠CBD=∠BB₁E=90°-∠BEB₁
因此∠BEB₁+∠CBD=90°，可得B₁E⊥BD
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，
正三角形ABC中，AE⊥BC
∴AE⊥平面BB₁C₁C，结合BD⊂平面BB₁C₁C，得AE⊥BD
∵AE、B₁E是平面AB₁E内的相交直线，∴BD⊥平面AB₁E；
（2）∵AE⊥平面BB₁C₁C，
∴BE是AB₁在平面BB₁C₁C内的射影，可得∠AB₁E是直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角
∵正△ABC中，AE=(√(3))/(2)AB=√(3)，正方形AA₁B₁B中，对角线AB₁=√(2)AB=2√(2)
∴Rt△AB₁E中，sin∠AB₁E=(AE)/(AB1)=(√(6))/(4)
即直线AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值等于(√(6))/(4)；
（3）由前面的计算，可得S_△BCD=(1)/(4)S BB1

作业帮用户 2017-10-11