直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=CA=2，AB=BC，D是BC1上一点，且CD⊥平面ABC1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角C-AC1-B的平面角的正弦值．

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=CA=2，AB=BC，D是BC₁上一点，且CD⊥平面ABC₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B的平面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）∵CC₁⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴CC₁⊥AB．
又∵CD⊥平面ABC₁，且AB⊂平面ABC₁，∴CD⊥AB，
又CC₁∩CD=C，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AB⊥平面BCC₁B₁．∴AB⊥BC．
在Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，∴BC=√(2)．
过点D作DE⊥AC₁于E，连接CE，由三垂线定理知CE⊥AC₁，故∠DEC是二面角C-AC₁-B的平面角．
又AC=CC₁，∴E为AC₁的中点，∴CE＝(1)/(2)AC1＝√(2)，
又BC1＝√(CC12+BC2)＝√(4+2)＝√(6)．
由(1)/(2)CC1•CB＝(1)/(2)BC1•CD，得CD＝(CC1•CB)/(BC1)＝(2√(3))/(3)．
在Rt△CDE中，sin∠DEC＝

作业帮用户 2017-11-08

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议

(CD)/(CE)