有对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线.过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径（为研究方便不妨设直径所在直线的斜率存在）.

Question

有对称中心的曲线叫做有心曲线 显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线 . 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径 （为研究方便 不妨设直径所在直线的斜率存在） .

定理：过圆 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的斜率之积为定值－ 1 ．

    （ Ⅰ ）写出该定理在椭圆 中的推广 并加以证明；

     （ Ⅱ ）写出该定理在双曲线中 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论 .

Answer 1

（ Ⅰ ）设直径的两个端点分别为 A 、 B 由椭圆的对称性可得 A 、 B 关于中心 O （ 0 0 ）对称 所以 A 、 B 点的坐标分别为 A （ B （ .

P （ 上椭圆 上任意一点 显然

因为 A 、 B 、 P 三点都在椭圆上 所以有

①

  ② .

而

由 ① － ② 得： .

所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的斜率之积为定值 .

   （ Ⅱ ）在双曲线中的推广为：过双曲线 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的斜率之积为定值

       该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线 上异于 直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线 则两条连线的斜率之积为定值－