（2010•浦东新区二模）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若直线AM与平面ABC所成的角为π4，求

Question

（2010•浦东新区二模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，且AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若直线AM与平面ABC所成的角为(π)/(4)，求多面体ABM-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（2，0，0），M（0，2，h），A₁（0，0，4），C（0，2，0）（2分）

BM

＝(−2，2，h)，

A1C

＝(0，2，−4)（2分）
由BM⊥A₁C得，

BM

•

A1C

＝0，即2×2-4h=0
解得h=1（2分）
（2）由题意知，平面ABC的一个法向量为

n

＝(0，0，1)，

AM

＝(0，2，h)（2分）
因为直线AM与平面ABC所成的角为(π)/(4)，所以(√(2))/(2)＝(h)/(作业帮用户2017-11-09问题解析（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出BM，A1C，利用BM•A1C＝0，求h的值；（2）直线AM与平面ABC所成的角为(π)/(4)，多面体ABM-A1B1C1的体积，就是三棱柱的体积减去三棱锥M-ABC的体积，求解即可．名师点评本题考点：棱柱的结构特征；组合几何体的面积、体积问题；直线与平面所成的角．考点点评：本题考查棱柱的结构特征，组合几何体的面积、体积问题，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)