已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为6的等边三角形．若该三棱柱的五个面与球O1都相切，六个顶点都在球O2的球面上，则球O2的体积为（）A．43πB．323πC．2053πD．2015π

Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为6的等边三角形．若该三棱柱的五个面与球O₁都相切，六个顶点都在球O₂的球面上，则球O₂的体积为（　　）

A．4√(3)π
B．32√(3)π
C．(20√(5))/(3)π
D．20√(15)π

Answer 1

∵正三棱柱的三个侧面和两个底面都与一个球相切，
∴球的直径等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的内切圆直径
根据底面边长为6，算出内切圆半径r=√(3)．
棱柱的高为：2√(3)．
由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2√(3)；
所以外接球的半径为：√((2√(3))2+(√(3))2)=√(15)．
所以外接球的体积为：V₂=(4π)/(3)r³=(4π)/(3)×(√(15))3=20√(15)π．
故选：D．