如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求CEEB；（2）求证：平面B1MC1⊥平面A1MC1．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．

（1）若DE∥平面A₁MC₁，求(CE)/(EB)；
（2）求证：平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．

Answer 1

（1）取BC中点为N，连结MN，C₁N，
∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又DE⊂平面BCC₁B₁，且DE∥平面A₁MC₁，
∴DE∥C₁N，
∵D为CC₁的中点，∴E是CN的中点，∴(CE)/(EB)=(1)/(3)．    …（6分）
证明：（2）连结B₁M，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四边形ABB₁A₁为矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中点，∴B₁M⊥A₁M，
又A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴A₁C₁⊥B₁M，
从而B₁M⊥平面A₁MC₁，
∵B₁M⊂平面B₁MC₁，∴平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．…（12分）