将长度为1的铁丝分两段围一个正方形一个圆心角为1的扇形,使正方形和扇形面积之和最小,扇形周长为多少?

Question

将长度为1的铁丝分两段围一个正方形一个圆心角为1的扇形,使正方形和扇形面积之和最小,扇形周长为多少?

Answer 1

设扇形的半径为r,那么扇形的周长=2r+r*1=3r
所以正方形的周长=1-3r
正方形边长=(1-3r)/4
正方形面积=(1-3r)²/16
扇形面积=πr²/2π=r²/2,你用r*r*1/2的方法计算也可以
面积和
=(1-3r)²/16+r²/2
=[(1-3r)²+8r²]/16
=(9r²-6r+1+8r²)/16
=(17r²-6r+1)/16
当r=6/(17×2)=3/17时取得最小值
此时扇形周长=3r=9/17