设函数f（x，y）=(x2+y2)αsin1x2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，其中α为常数．则当α满足条件时，此函数在原点处连续；当α满足条件α＞32α＞32时，fx（0，0）存在．

Question

设函数f（x，y）=

(x2+y2)αsin(1)/(x2+y2)，x2+y2≠0

0，x2+y2＝0

，其中α为常数．则当α满足条件______时，此函数在原点处连续；当α满足条件

α＞(3)/(2)

α＞(3)/(2)

时，f_x（0，0）存在．

Answer 1

∵（x，y）→（0，0）时，|sin(1)/(x2+y2)|≤1，
α＞0时，

lim

(x，y)→(0，0)

(x2+y2)α＝0
∴由“无穷小与有界函数的乘积依然是无穷小”的性质，知
当α＞0时，

lim

，(x，y)→(0，0)

f(x，y)＝0＝f(0，0)
又
f_x（0，0）=

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x)=

lim

x→0

(x2αsin(1)/(x2))/(x)=

lim

x→0

x2α−1•(1)/(x2)=

lim

x→0

x2α−3
∴当2α-3＞0时，即α＞(3)/(2)时，f_x（0，0）存在．