设函数f在x=0处连续,对每一个x属于R成立f(x)=f(2x).证明：f是常值函数

Question

设函数f在x=0处连续,对每一个x属于R成立f(x)=f(2x).证明：f是常值函数

Answer 1

因为f在x=0处连续,所以f在x=0处存在极限,不妨设极限为a（a为常数）.
那么f(x)=f(2x),得到f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...=f(x/(2^n)).
当n趋向无穷大时,有x/(2^n)趋向0,即f(x/(2^n))=a;
也就是说f(x)=a,
即f是常值函数.
得证.