z=0分别是1/(sin(z)-z),(e^z-1)/z^3,sin(z)/z^2的几阶极点有没有比慢慢求一阶导，二阶导更简单的方法？

Question

z=0分别是1/(sin(z)-z),(e^z-1)/z^3,sin(z)/z^2的几阶极点
有没有比慢慢求一阶导，二阶导更简单的方法？

Answer 1

如果lim(z→a)[(z-a)^m]f(z)=一个有限值（非0）
那么a是f(z)的m阶极点
用级数展开也可以
lim(z→0)(z-0)^3*[1/(sinz-z)]
=lim(z→0)3z^2/(cosz-1)
=lim(z→0)6z/(-sinz)
=-6
[级数展开sinz=z-z^3/3!+...
可见z是3阶极点]
lim(z→0)(z-0)^2*[(e^z-1)/z^3]
=lim(z→0)(e^z-1)/z
=lim(z→0)e^z/1
=1
[级数展开e^z=1+z+z^2/2+z^3/3...
可见z是2阶极点]
lim(z→0)(z-0)*[sinz/z^2]
=lim(z→0)sinz/z
=1
[级数展开sinz=z-z^3/3!+...
可见z是1阶极点]