设函数f（x）在[2，4]上连续，在（2，4）内可导，且f（2）=∫43（x-1）2f（x）dx，证明：存在ξ∈（2，4），使得f′（ξ）=2f(ξ)1−ξ．

Question

设函数f（x）在[2，4]上连续，在（2，4）内可导，且f（2）=

∫

4 3

（x-1）²f（x）dx，
证明：存在ξ∈（2，4），使得f′（ξ）=(2f(ξ))/(1−ξ)．

Answer 1

构造辅助函数：F（x）=（x-1）²f（x），
则：F′（x）=2（x-1）f（x）+（x-1）²f′（x），
由积分中值定理知：
存在c∈[3，4]，使得：f(2)＝

∫

4  3

(x−1)2f(x)dx＝(c−1)2f(c)，
即：F（2）=F（c），
由罗尔定理知：存在ξ∈（2，c）⊂（2，4），使得F′（ξ）=0，
即：2（ξ-1）f（ξ）+（ξ-1）²f′（ξ）=0，
即：f′(ξ)＝(2f(ξ))/(1−ξ)．