已知函数f（x）=klnx，g（x）=ex．（1）若函数φ（x）=f（x）+x-2x，求φ（x）的单调区间；（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线．若在区间（2，+∞）上存在唯一的x0

Question

已知函数f（x）=klnx，g（x）=e^x．
（1）若函数φ（x）=f（x）+x-(2)/(x)，求φ（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x₀，f（x₀））处的切线．若在区间（2，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=klnx，
∴f（x）+x-(2)/(x)=klnx+x-(2)/(x) （x＞0），
φ′(x)＝(k)/(x)+1+(2)/(x2)＝(x2+kx+2)/(x2)，
方程x²+kx+2=0的判别式△=k²-8．
由△＞0，得k＜-2√(2)或k＞2√(2)．
当△＞0时，x1＝(−k−√(k2−8))/(2)，x2＝(−k+√(k2−8))/(2)．
若k＞2√(2)，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
若k＜-2√(2)，当x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，φ′（x）＞0．
当x∈（x₁，x₂）时，φ′（x）＜0．
若−2√(2)≤k≤2√(2)，φ′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
∴若k＜−2√(2)，函数φ（x）的增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，x₂）；
若k≥−2√(2)，则函数φ（x）的增区间为（0，+∞）．
（2）由f（x）=klnx，得f′(x)＝(k)/(x)，f′(x0)＝(k)/(x0)．
∴直线l的方程为y−klnx0＝(k)/(x0)(x−x0)，即y＝(k)/(x0)x+klnx0−k．
设l与y=g（x）切于点B（x₁，y₁），
则l的方程又可写为y−ex1＝ex1(x−x1)，即y＝ex1x+ex1(1−x1)．
∴

(k)/(x0)＝ex1

k(lnx0−1)＝ex1(1−x1)

⇒k(lnx0−1)＝(k)/(x0)(1−x1)⇒x₀（lnx₀-1）=1-x₁
⇒x₁=1+x₀-x₀lnx₀，
又x1＝ln(k)/(x0)，
化简得：lnk=1+x₀+lnx₀-x₀lnx₀．
设h（x）=1+x+lnx-xlnx（x＞2），h′(x)＝1+(1)/(x)−(lnx+1)＝(1)/(x)−lnx，
当x＞2时，(1)/(x)＜lnx，
∴h′（x）＜0恒成立，h（x）在（2，+∞）上单调递减，
且h（2）=3-ln2，要使x₀唯一，只要令lnk＜3-ln2=ln(e3)/(2)．
∴0＜k＜(e3)/(2)．
∴实数k的取值范围是(0，(e3)/(2))．