设f（x），g（x）为[a，b]上的连续函数．试证至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）∫bξg（x）dx=g（ξ）∫ξaf（x）dx．

Question

设f（x），g（x）为[a，b]上的连续函数．试证至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）

∫

b ξ

g（x）dx=g（ξ）

∫

ξ a

f（x）dx．

Answer 1

证明：设F(x)＝

∫

x a

f(t)dt

∫

b x

g(t)dt，则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．
因为F′(x)＝f(x)

∫

b x

g(t)dt−g(x)

∫

x a

f(t)dt，且F（a）=F（b）=0，
故由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=0，
即：f(ξ)

∫

b ξ

g(x)dx＝g(ξ)

∫

ξ a

f(x)dx．