一个三重积分被积函数为z，积分区域Ω由旋转抛物面z=x^2+y^2和平面z=2y所围成，答案为5/6π，

Question

一个三重积分
被积函数为z，积分区域Ω由旋转抛物面z=x^2+y^2和平面z=2y所围成，答案为5/6π，

Answer 1

∵解方程组z=x²+y²和z=2y,得x²+(y-1)²=1
∴抛物面z=x²+y²和z=2y所围成的区域在xy平面上的投影是S：x²+(y-1)²=1
故∫∫∫zdxdydz=∫∫dxdy∫zdz
=∫∫[(z²/2)│]dxdy
=∫∫[(x²+y²)²/2-(2y)²/2]dxdy
=(1/2)∫∫(x^4+y^4+2x²y²-4y²)dxdy
=(1/2)∫<0,2π>dθ∫<0,1>(3+4rsinθ-2r²-4r³sinθ-r^4)rdr
(令x=rcosθ,y=1+rsinθ.则dxdy=rdθdr,0 =(1/2)∫<0,2π>dθ∫<0,1>(3r+4r²sinθ-2r³-4r^4sinθ-r^5)dr
=(1/2)∫<0,2π>[(3r²/2+4r³sinθ/3-r^4/2-4r^5sinθ/5-r^6/6)│<0,1>]dθ
=(1/2)∫<0,2π>(5/6+8sinθ/15)dθ
=(1/2)(5θ/6-8cosθ/15)│<0,2π>
=(1/2)(5π/3-8/15+8/15)
=5π/6.