（Ⅰ）将累次积分I（a）=∫2a0dy∫2ay−y20ex2+y2dx化成定积分，其中a＞0为常数；（Ⅱ）求lima→0+I(a)ln(1+a2)．

Question

（Ⅰ）将累次积分I（a）=

∫

2a 0

dy

∫	√(2ay−y2) 0

ex2+y2dx化成定积分，其中a＞0为常数；
（Ⅱ）求

lim

a→0+

(I(a))/(ln(1+a2))．

Answer 1

（Ⅰ）由于积分区域D={（x，y）|0≤y≤2a，0≤x≤√(2ay−y2)}={（r，θ）|0≤θ≤(π)/(2)，0≤r≤2asinθ}
因此，利用极坐标转化二重积分
I(a)＝

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

2asinθ 0

er2rdr
=(1)/(2)

∫

(π)/(2) 0

(e4a2sin2θ−1)dθ
（Ⅱ）∵I(a)＝

∫∫

D

ex2+y2dxdy，积分区域D如（Ⅰ）所示
显然D的面积为：(π)/(2)a2，且当a→0时，积分区域D趋于原点（0，0）
∴由二重积分中值定理，得

lim

a→0+

(I(a))/(ln(1+a2))=

lim

a→0+

(eξ2+η2•(πa2)/(2))/(a2)（ξ，η）∈D
=(π)/(2)