证明：若f(x)+f(y)=f(x+y),且f(x)在0连续,则函数f（x）在R连续,且f(x)=ax,其中a=f（1）是常数我是大一的,刚学微积分

Question

证明：若f(x)+f(y)=f(x+y),且f(x)在0连续,则函数f（x）在R连续,且f(x)=ax,其中a=f（1）是常数
我是大一的,刚学微积分

Answer 1

经典的柯西方程问题.
首先,由归纳法易见f(x_1+…+x_n)=f(x_1)+…+f(x_n)对所有正整数n都成立.
下面先证x为有理数时f(x)=ax（其实这里不用连续性的条件）,证明分为三步：
1.令x=y=0,知f(0)=0.令y=-x,知f(x)+f(-x)=f(0)=0.
故g为奇函数,讨论x>0的情形即可.
2.x为正整数时,f(x)=f(1+…+1)=f(1)+…+f(1)=…=xf(1)=ax.
3.x为正有理数时,记x=m/n,m,n为正整数.nf(m/n)=f(m/n)+…+f(m/n)(括号里加n次)=f(m/n+…+m/n)=f(m)=am.即f(x)=ax.
往下就要用到连续性了.
首先,对于任意实数a,x,f(x)-f(a)=f(x-a).由f在0点的连续性,x->a时,f(x)-f(a)=f(x-a)->0,所以f在任意一点a处连续.
最后,对任何实数x,可以找到一列有理数q_k趋近于x,已证f(q_k)=a*q_k.令k->∞,由f在x处连续,可知f(x)=ax.