一个高数的困惑为什么满足方程组F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0的所有曲面束为F(x,y,z)＋aG(x,y,z)=0,怎么保证它包含了所有满足条件的曲面

Question

一个高数的困惑
为什么满足方程组F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0的所有曲面束为F(x,y,z)＋aG(x,y,z)=0,怎么保证它包含了所有满足条件的曲面

Answer 1

你的问法是不是有问题啊,你想知道的可能是下面我说的.
这个方法我给别人解答题目时用的,你可以看下.我是从平面的角度去解释至于曲面就有待研究了.
他的题目是:求过直线 2x-y-2z+1=0与x+y+4z-2=0且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程
该题的直线是两个平面的交线,所以呢我们可以这样来假定过该直线的所有平面,如：2X-Y-2Z+1+a（X+Y+4Z-2）=0,其中a是一个变量,然后根据截距相等就可求出a,然后化简即可.这是我从复习书上看的方法.如果你知道这方法就不用看我的解释了.（如下）
至于为什么可以这样,我的理解是：你看啊,这条直线肯定是垂直于这两个平面的法线,这两平面的法线分别是这两平面方程XYZ前面的常数,那么我们要求的平面也是过这条直线的,它的法线也是与该直线垂直的,则这三个平面的法线是在一个平面内的（因为都垂直与同一条直线）.你要知道,记得不知道是什么时候学的定理,在一平面内,两任意不重合的向量可以表示该平面内任意的其他向量.那么上面的待求平面的法线也是如此,而法线向量又正好是平面方程中XYZ前的系数,因此就把所求平面方程设为含一未知量的形式.