在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=3，AB=2BC=2，AC⊥FB．（1）求三棱锥A-BCF的体积．（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．

Question

在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=√(3)，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求三棱锥A-BCF的体积．
（2）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer 1

（1）在△ABC中，
因为AC=√(3)，AB=2，BC=1，
所以AC⊥BC，∠ABC=60，∠ADC=120°．
在△ADC中，由余弦定理可得DC=1，
又因为AC⊥FB，BC∩FB=B，
所以AC⊥平面FBC．
因为FC⊂平面FBC，
所以AC⊥FC，
因为CDEF为正方形，
所以DC⊥FC，FC=1，
因为AC∩DC=C，
所以FC⊥平面ABCD，即FC⊥BC，
所以V_A-FBC=(1)/(3)AC•S△FBC=(1)/(3)×√(3)×(1)/(2)×1×1=(√(3))/(6)；
（2）M为线段AC的中点，EA∥平面FDM．
连结CE，与DF交于点N，连接MN．
因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．
在△ACE中，EA∥MN．                                         
因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，
所以 EA∥平面FDM．