已知平面内有一个五边形ABCEF，且关于线段BC对称（如图1所示），FE⊥CE，BF=FE=1，CB=CE=3，沿BC将平面ABCD折起，使平面ABCD⊥平面ECBF，连接AF、DE、AE得到如图2所示的几何体．（1）证明：DE∥平

Question

已知平面内有一个五边形ABCEF，且关于线段BC对称（如图1所示），FE⊥CE，BF=FE=1，CB=CE=√(3)，沿BC将平面ABCD折起，使平面ABCD⊥平面ECBF，连接AF、DE、AE得到如图2所示的几何体．
（1）证明：DE∥平面AFB；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

几何法：
（1）证明：如图，作DQ∥AB交BC于点Q，连接EQ．
∵五边形ABCEF关于线段BC对称，
∴EQ∥FB．
又DQ⊄面ABF，AB⊂面ABF，
∴DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．
又DQ∩EQ=Q，∴面DEQ∥面ABF．而DE⊂面DEQ，
∴DE∥平面AFB．
（2）∵五边形ABCEF关于线段BC对称，
∴图（2）中延长DA、CB、EF，必交于一点G，
过点B作BH⊥DG于点H，连接HF．
又由五边形ABCEF关于线段BC对称知BF⊥BC，AB⊥BC，
而平面ABCD⊥平面ECBF，
∴FB⊥平面ECBF．∴∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．
又∵FE⊥CE，∴AD⊥DC，∴△ABG∽△CDG，
∴(AG)/(GC)＝(AB)/(CD)＝(BG)/(DG)，解得AG＝2，BG＝√(3)．
在RT△ABG中，BG•AB＝AG•BH⇒BH＝(√(3))/(2)．
∴RT△FBH中，FH＝√(((√(3))/(2))2+12)＝(√(7))/(2)，cos∠BHF＝(BH)/(HF)＝(√(21))/(7)，
∴二面角E-AD-B的余弦值为

作业帮用户 2016-12-03

问题解析

几何法：
（1）作DQ∥AB交BC于点Q，连接EQ．由已知条件得EQ∥FB．所以DQ∥面AFB．同理：EQ∥面AFB．由此能证明DE∥平面AFB．
（2）延长DA、CB、EF，必交于一点G，过点B作BH⊥DG于点H，连接HF．由已知条件得∠BHF是二面角E-AD-B的平面角．由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．
向量法：
（1）B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面AFB．
（2）分别求出平面ADEF的一个法向量和面ABCD的一个法向量，由此能求出二面角E-AD-B的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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