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设F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数,则F(x)+f(x)在(a,b)上()A.可导B.连续C.存在原函数D.是初等函数
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设F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数,则F(x)+f(x)在(a,b)上( )
A.可导
B.连续
C.存在原函数
D.是初等函数
A.可导
B.连续
C.存在原函数
D.是初等函数
▼优质解答
答案和解析
选项C正确.
因为F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数,
所以F(x)在[a,b]上连续,
从而F(x)在[a,b]上的原函数存在.
利用原函数的性质可得,F(x)+f(x)的原函数存在,选项C正确.
选项A错误,反例:取f(x)=|x|,则F(x)=x|x|为f(x)的一个原函数,但F(x)+f(x)=|x|(x+1)在x=0处的左导数值为-1,右导数值为1,故在x=0处不可导.
选项B错误,反例:F(x)=|x|,f(x)=sgnx,则F(x)为f(x)的一个原函数,但F(x)+f(x)在x=0处不连续.
选项D错误,反例:因为初等函数的原函数不一定是初等函数,故F(x)不一定是初等函数,从而F(x)+f(x)不一定是初等函数.
综上,正确选项为C.
故选:C.
因为F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数,
所以F(x)在[a,b]上连续,
从而F(x)在[a,b]上的原函数存在.
利用原函数的性质可得,F(x)+f(x)的原函数存在,选项C正确.
选项A错误,反例:取f(x)=|x|,则F(x)=x|x|为f(x)的一个原函数,但F(x)+f(x)=|x|(x+1)在x=0处的左导数值为-1,右导数值为1,故在x=0处不可导.
选项B错误,反例:F(x)=|x|,f(x)=sgnx,则F(x)为f(x)的一个原函数,但F(x)+f(x)在x=0处不连续.
选项D错误,反例:因为初等函数的原函数不一定是初等函数,故F(x)不一定是初等函数,从而F(x)+f(x)不一定是初等函数.
综上,正确选项为C.
故选:C.
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