已知a＝(1−cosx，2sinx2)，b＝(1+cosx，2cosx2)（1）若f(x)＝2+sinx−14|a-b|2，求f（x）的表达式．（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．（3）若h（x）=g（x）-λf（x

Question

已知

a

＝(1−cosx，2sin(x)/(2))，

b

＝(1+cosx，2cos(x)/(2))
（1）若f(x)＝2+sinx−(1)/(4)|

a

-

b

|²，求f（x）的表达式．
（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[−(π)/(2)，(π)/(2)]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解（1）：f(x)＝2+sinx−(1)/(4)[4cos2x+4(sin(x)/(2)−cos(x)/(2))2]，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀）
关于原点的对称点为N（x，y）
则x₀=-x，y₀=-y，
∵点M在函数y=f（x）的图象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，
∵x∈[−(π)/(2)，(π)/(2)]
∴-1≤t≤1，
则有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①当λ=-1时，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1，
②当λ≠-1时，对称轴方程为直线t＝(1−λ)/(1+λ)
ⅰ） λ＜-1时，(1−λ)/(1+λ)≤−1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，(1−λ)/(1+λ)≥1，解得-1＜λ≤0综上，λ≤0．