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(2010•同安区质检)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P
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(2010•同安区质检)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.
①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.
①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?
②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)已知了A,B的坐标,可用待定系数法求出函数的解析式.
(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差,二次函数的解析式在(1)中已经求出,而一次函数可根据B,C的坐标,用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式,得出的新的函数就是关于PQ,x的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值.
(3)分三种情况进行讨论:
当∠QOA=90°时,Q与C重合,显然不合题意.因此这种情况不成立;
当∠OAQ=90°时,P与A重合,因此P的坐标就是A的坐标;
当∠OQA=90°时,如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA.由此可得出关于x的方程即可求出x的值,然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标.
【解析】
(1)∵抛物线过A(3,0),B(6,0),
∴,
解得:,
∴所求抛物线的函数表达式是y=x2-x+2.
(2)①∵当x=0时,y=2,
∴点C的坐标为(0,2).
设直线BC的函数表达式是y=kx+b.
则有,
解得:.
∴直线BC的函数表达式是y=-x+2.
∵0<x<6,点P、Q的横坐标相同,
∴PQ=yQ-yP=(-x+2)-(x2-x+2)
=-x2+x
=-(x-3)2+1
∴当x=3时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.
②【解析】
当∠OAQ=90°时,点P与点A重合,
∴P(3,0)
当∠QOA=90°时,点P与点C重合,
∴x=0(不合题意)
当∠OQA=90°时,
设PQ与x轴交于点D.
∵∠ODQ+∠ADQ=90°,∠QAD+∠AQD=90°,
∴∠OQD=∠QAD.
又∵∠ODQ=∠QDA=90°,
∴△ODQ∽△QDA.
∴,即DQ2=OD•DA.
∴(-x+2)2=x(3-x),
10x2-39x+36=0,
∴x1=,x2=,
∴y1=×()2-+2=;
y2=×()2-+2=;
∴P(,)或P(,).
∴所求的点P的坐标是P(3,0)或P(,)或P(,).
(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差,二次函数的解析式在(1)中已经求出,而一次函数可根据B,C的坐标,用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式,得出的新的函数就是关于PQ,x的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值.
(3)分三种情况进行讨论:
当∠QOA=90°时,Q与C重合,显然不合题意.因此这种情况不成立;
当∠OAQ=90°时,P与A重合,因此P的坐标就是A的坐标;
当∠OQA=90°时,如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA.由此可得出关于x的方程即可求出x的值,然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标.
【解析】
(1)∵抛物线过A(3,0),B(6,0),
∴,
解得:,
∴所求抛物线的函数表达式是y=x2-x+2.
(2)①∵当x=0时,y=2,
∴点C的坐标为(0,2).
设直线BC的函数表达式是y=kx+b.
则有,
解得:.
∴直线BC的函数表达式是y=-x+2.
∵0<x<6,点P、Q的横坐标相同,
∴PQ=yQ-yP=(-x+2)-(x2-x+2)
=-x2+x
=-(x-3)2+1
∴当x=3时,线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.
②【解析】
当∠OAQ=90°时,点P与点A重合,
∴P(3,0)
当∠QOA=90°时,点P与点C重合,
∴x=0(不合题意)
当∠OQA=90°时,
设PQ与x轴交于点D.
∵∠ODQ+∠ADQ=90°,∠QAD+∠AQD=90°,
∴∠OQD=∠QAD.
又∵∠ODQ=∠QDA=90°,
∴△ODQ∽△QDA.
∴,即DQ2=OD•DA.
∴(-x+2)2=x(3-x),
10x2-39x+36=0,
∴x1=,x2=,
∴y1=×()2-+2=;
y2=×()2-+2=;
∴P(,)或P(,).
∴所求的点P的坐标是P(3,0)或P(,)或P(,).
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