如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A、B，AB=25，（1）求k的值；（2）若反比例函数y=kx的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．

Question

如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k)/(x)的图象交于点A、B，AB=2√(5)，

（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=(k)/(x)的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．

由题意可知点A与点B关于点O中心对称，且AB=2√(5)，
∴OA=OB=√(5)．
设点A的坐标为（a，2a），
在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a²+（2a）²=（√(5)）²，
解得：a=1，
∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=(k)/(x)中得：2=(k)/(1)，
解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O中心对称，
∴点B的坐标为（-1，-2）．
设点C的坐标为（n，(2)/(n)），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，
(-2-2)/(-1-1)•(-2-(2)/(n))/(-1-n)=-1，即n²+5n+4，
解得：n₁=-4，n₂=-1（舍去），
此时点C的坐标为（-4，-(1)/(2)）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，
(-2-2)/(-1-1)•((2)/(n)-2)/(n-1)=-1，即n²-5n+4=0，
解得：n₃=4，n₄=1（舍去），
此时点C的坐标为（4，(1)/(2)）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，
(-2-(2)/(n))/(-1-n)•(2-(2)/(n))/(1-n)=-1，即n²=4，
解得：n₅=-2，n₆=2，
此时点C的坐标为（-2，-1）或（2，1）．
综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（-4，-(1)/(2)）、（4，(1)/(2)）、（-2，-1）或（2，1）．